设函数f(x)＝?13x3+x2+(m2?1)x．（1）当方程f（x）=0只有一个实数解时，求实数m的取值范围；（2）若m＞0
设函数f(x)＝?13x3+x2+(m2?1)x．（1）当方程f（x）=0只有一个实数解时，求实数m的取值范围；（2）若m＞0且当x∈[1-m，3]时，恒有f（x）≤0，...
设函数f(x)＝?13x3+x2+(m2?1)x．（1）当方程f（x）=0只有一个实数解时，求实数m的取值范围；（2）若m＞0且当x∈[1-m，3]时，恒有f（x）≤0，求实数m的取值范围．
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（1）f(x)＝?
x3+x2+(m2?1)x=x[?
x2+x+(m2?1)]
方程f（x）=0只有一个实数解，?
x2+x+(m2?1)＝0没有实数解．
∴△＝1+
(m2 ?1)＜0，解得?
＜m＜
．
所以，当方程f（x）=0只有一个实数解时，实数m的取值范围是(?
，
)
（2）由f′（x）=-x2+2x+m2-1=-（x-m-1）（x+m-1）
因为m＞0所以1+m＞1-m
f（x）在（-∞，1-m）和（1+m，+∞）内单调递减，
在（1-m，1+m）内单调递增．
（1）当3＜1+m，即m＞2时，f（x）在区间[1-m，3]上是增函数，
f（x）max=f（3）=3m2-3
∴
无解．
（2）当1+m≤3，即0＜m≤2时，f（x）在区间[1-m，1+m]上是增函数，在（1+m，+∞）上是减函数，
∴f(x)max＝f(1+m)＝
m3+m2?
∴
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| 3 |
| 1 |
| 3 |
方程f（x）=0只有一个实数解，?
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∴△＝1+
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所以，当方程f（x）=0只有一个实数解时，实数m的取值范围是(?
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| 1 |
| 2 |
（2）由f′（x）=-x2+2x+m2-1=-（x-m-1）（x+m-1）
因为m＞0所以1+m＞1-m
f（x）在（-∞，1-m）和（1+m，+∞）内单调递减，
在（1-m，1+m）内单调递增．
（1）当3＜1+m，即m＞2时，f（x）在区间[1-m，3]上是增函数，
f（x）max=f（3）=3m2-3
∴
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（2）当1+m≤3，即0＜m≤2时，f（x）在区间[1-m，1+m]上是增函数，在（1+m，+∞）上是减函数，
∴f(x)max＝f(1+m)＝
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
∴
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