Question

已知函数f（x）=mx33+ax2+（1-b2）x，m，a，b∈R．（1）当m=1时，若函数f（x）是R上的增函数，求a2+b2+2a

已知函数f（x）=mx33+ax2+（1-b2）x，m，a，b∈R．（1）当m=1时，若函数f（x）是R上的增函数，求a2+b2+2a+4b的最大值；（2）当a=1，b=2时，函数f（x）在（2，+∞）上存在单调递增区间，求实数m的取值范围．

Answer 1

（1）当m=1时，f（x）=

1

3

x3+ax2+(1?b2)x，∴f^′（x）=x²+2ax+1-b²．
∵函数f（x）是R上的增函数，∴f^′（x）=x²+2ax+1-b²≥0（不恒为0）在R上恒成立，∴△=4a²-4（1-b²）≤0，化为a²+b²≤1．
a²+b²+2a+4b=（a+1）²+（b+2）²-5，
而

(a+1)2+(b+2)2

表示的是点P（-1，-2）到圆面a²+b²≤1上的任意一点的距离，∵点P到此圆面的最大距离为|OP|+r=

12+22

+1=

5

+1，
∴a²+b²+2a+4b的最大值=(

5

+1)2?5=1+2

5

．
（2）当a=1，b=

2

时，f（x）=

mx3

3

+x2?x，∴f^′（x）=mx²+2x-1．
由“函数f（x）在（2，+∞）上存在单调递增区间”其反面是“函数f（x）在（2，+∞）上单调递减或恒为常数”，
先考虑其反面：①无论m什么实数，f（x）不可能为常数．
②若函数f（x）在（2，+∞）上单调递减，则f^′（x）≤0（不恒为0）恒成立．
∴必有