Question

一节数学课后，老师布置了一道课后练习题：如图，已知在Rt△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，BO⊥AC，于点O，

一节数学课后，老师布置了一道课后练习题：如图，已知在Rt△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，BO⊥AC，于点O，点PD分别在AO和BC上，PB=PD，DE⊥AC于点E，求证：△BPO≌△PDE． （1）理清思路，完成解答（2）本题证明的思路可用下列框图表示： 根据上述思路，请你完整地书写本题的证明过程．（2）特殊位置，证明结论若PB平分∠ABO，其余条件不变．求证：AP=CD．（3）知识迁移，探索新知若点P是一个动点，点P运动到OC的中点P′时，满足题中条件的点D也随之在直线BC上运动到点D′，请直接写出CD′与AP′的数量关系．（不必写解答过程）

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Answer 1

（1）求出∠3=∠4，∠BOP=∠PED=90°，根据AAS证△BPO≌△PDE即可； （2）求出∠ABP=∠4，求出△ABP≌△CPD，即可得出答案； （3）设OP=CP=x，求出AP=3x，CD= x，即可得出答案．

（1）证明：∵PB=PD， ∴∠2=∠PBD， ∵AB=BC，∠ABC=90°， ∴∠C=45°， ∵BO⊥AC， ∴∠1=45°， ∴∠1=∠C=45°， ∵∠3=∠PBO﹣∠1，∠4=∠2﹣∠C， ∴∠3=∠4， ∵BO⊥AC，DE⊥AC， ∴∠BOP=∠PED=90°， 在△BPO和△PDE中 ∴△BPO≌△PDE（AAS）； （2）证明：由（1）可得：∠3=∠4， ∵BP平分∠ABO， ∴∠ABP=∠3， ∴∠ABP=∠4， 在△ABP和△CPD中 ∴△ABP≌△CPD（AAS）， ∴AP=CD． （3）解：CD′与AP′的数量关系是CD′= AP′． 理由是：设OP=PC=x，则AO=OC=2x=BO， 则AP=2x+x=3x， 由（2）知BO=PE， PE=2x，CE=2x﹣x=x， ∵∠E=90°，∠ECD=∠ACB=45°， ∴DE=x，由勾股定理得：CD= x， 即AP=3x，CD= x， ∴CD′与AP′的数量关系是CD′= AP′