Question

知函数f（x）=lnx-a 2 x 2 +ax（a∈R）。 （1）若函数f（x）在区间

知函数f（x）=lnx-a 2 x 2 +ax（a∈R）。 （1）若函数f（x）在区间（1，+∞）上是单调减函数，求实数a的取值范围；（2）讨论f（x）的极值。

Answer 1

解：（1）：①当a=0时， ， ∴f（x）在区间（1，+∞）上为增函数，不合题意； ②当a≠0时，要使函数f（x）在区间上（1，+∞）是减函数，只需 在区间（1，+∞）上恒成立， ∵x>0， ∴只要 成立， ∴ 解得 或 ， 综上，实数a的以值范围是 ； （2）函数 的定义域为（0，+∞）， ∴ ， ①当a=0时， ， ∴f（x）的增区间为（0，+∞），此时f（x）无极值； ②当a>0时，令 ，得 或 （舍去）， ∴f（x）的增区间为 ，减区间为 ， 所以此时f（x）有极大值为 ，无极小值； ③当a<0时，令 ，得 （舍去）或 ， ∴f（x）的增区间为 ，减区间为 。

Answer 2

（1）f′（x）= 1x+2x-a，x＞0，
由已知，f′（x）＞0对x＞恒成立，
即a≤ 1x+2x，x＞0，由于 1x+2x≥2 1x×2x=22，所以a≤22
（2）由已知，f′（x）=0在（0，+∞）内有穿越型的零点，即2x²-ax+1=0在（0，+∞）内有穿越型的零点，
记g（x）=2x²-ax+1，由于g（0）=0，所以 △＝a2?8＞0a4＞0，解得a＞22．
设f（x）的两个极值点为x₁，x₂，则x₁+x₂= a2，x₁x₂= 12，∴f（x₁）+f（x₂）=（lnx₁+x₁²-ax₁）+（lnx₂+x₂²-ax₂）
=lnx₁x₂-a（x₁+x₂）+（x₁+x₂）²-2x₁x₂
=ln 12- a22+ a24-1=- a24-1+ln 12＜-3+ln 12，所以所有极值之和小于-3+ln 12；
（3）令a=3，则f（x）=lnx+x²-3x，x＞1，f′（x）= 2x3?3x+1x= (x?1)(2x?1)x＞0，
即f（x）在（1，+∞）上为增函数，所以f（x）＞f（1）=-2，
即lnx+x²-3x＞-2，3x-x²＜lnx+2，
∴3（a₁+a₂+…+a_n）-（a₁²+a₂²+…+a_n²）＜ln（（a₁a₂…a_n）+2n=ln（n+1）+2n