如图1，图2，正方形ABCD的边长为1，P是对角线BD上一动点，连接AP、CP，过P作PN⊥AP交射线CD与点N．（1）
如图1，图2，正方形ABCD的边长为1，P是对角线BD上一动点，连接AP、CP，过P作PN⊥AP交射线CD与点N．（1）求证：AP=CP．（2）①若点N在边CD上，如图1...
如图1，图2，正方形ABCD的边长为1，P是对角线BD上一动点，连接AP、CP，过P作PN⊥AP交射线CD与点N．（1）求证：AP=CP．（2）①若点N在边CD上，如图1，判断△APN的形状，并说明理由；②若点N在边CD的延长线上，如图2，①中的结论还成立吗？（不需要证明）．（3）若N为边CD的中点，求BP的长．
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（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD，∠ADB=∠CDB=45°，
在△ADP和△CDP中，
，
∴△ADP≌△CDP（SAS），
∴AP=CP；
（2）①△APN是等腰直角三角形．
理由如下：在正方形ABCD中，∠ADC=90°，
∵PN⊥AP，
∴∠APN=90°，
∴∠DAP+∠DNP=180°，
∵∠PNC+∠DNP=180°，
∴∠PNC=∠DAP，
∵△ADP≌△CDP，
∴∠DCP=∠DAP，
∴∠PNC=∠DCP，
∴PN=PC，
又∵AP=PC，
∵AP=PN，
∴△APN是等腰直角三角形；
②①中得结论仍然成立．
理由如下：同理可得AP=CP，∠DAP=∠DCP，
∵AP⊥PN，AD⊥DN，
∴∠DAP=∠N，
∴∠N=∠DCP，
∴PN=PC，
又∵AP=PC，
∵AP=PN，
∴△APN是等腰直角三角形；
（3）过P作EF∥BC分别交AB、CD于E、F，
可得四边形EBCF是矩形，EF⊥AB，EF⊥CD，
∴BE=CF，
∵PN=PC，PF⊥CD，
∴CF=NF=
CN，
∵N是CD的中点，
∴CN=
CD=
，
∴BE=CF=
CN=
×
=
，
在正方形ABCD中，∠ABD=45°，
∴△BEP是等腰直角三角形，
∴PE=BE=
，
∴BP=
=
=
∴AD=CD，∠ADB=∠CDB=45°，
在△ADP和△CDP中，
|
∴△ADP≌△CDP（SAS），
∴AP=CP；
（2）①△APN是等腰直角三角形．
理由如下：在正方形ABCD中，∠ADC=90°，
∵PN⊥AP，
∴∠APN=90°，
∴∠DAP+∠DNP=180°，
∵∠PNC+∠DNP=180°，
∴∠PNC=∠DAP，
∵△ADP≌△CDP，
∴∠DCP=∠DAP，
∴∠PNC=∠DCP，
∴PN=PC，
又∵AP=PC，
∵AP=PN，
∴△APN是等腰直角三角形；
②①中得结论仍然成立．
理由如下：同理可得AP=CP，∠DAP=∠DCP，
∵AP⊥PN，AD⊥DN，
∴∠DAP=∠N，
∴∠N=∠DCP，
∴PN=PC，
又∵AP=PC，
∵AP=PN，
∴△APN是等腰直角三角形；
（3）过P作EF∥BC分别交AB、CD于E、F，
可得四边形EBCF是矩形，EF⊥AB，EF⊥CD，∴BE=CF，
∵PN=PC，PF⊥CD，
∴CF=NF=
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∵N是CD的中点，
∴CN=
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∴BE=CF=
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在正方形ABCD中，∠ABD=45°，
∴△BEP是等腰直角三角形，
∴PE=BE=
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∴BP=
| BE2+PE2 |
(
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