已知Rt△ABC中,∠C=90°,BC=6,AC=8.点P是边AB的中点,以P为顶点,作∠MPN=∠A,∠MPN的两边分别与边A
已知Rt△ABC中,∠C=90°,BC=6,AC=8.点P是边AB的中点,以P为顶点,作∠MPN=∠A,∠MPN的两边分别与边AC交于点M、N.(1)当△MPN是直角三角...
已知Rt△ABC中,∠C=90°,BC=6,AC=8.点P是边AB的中点,以P为顶点,作∠MPN=∠A,∠MPN的两边分别与边AC交于点M、N.(1)当△MPN是直角三角形时,求CM的长度;(2)当∠MPN绕点P转动时,下列式子:(甲)CM?AN,(乙)CN?AM的值是否保持不变?若保持不变,试求出这个不变的值,并证明你的结论;(3)连接BM,是否存在这样的点M,使得△BMP与△ANP相似?若存在,请求出这时CM的长;若不存在,请说明理由.
展开
1个回答
展开全部
(1)显然∠MPN≠90°,
若∠PMN=90°,则CM=4,(1分)
若∠PNM=90°,则PN=3,CN=4,MN=
,
∴CM=
;
(2)(甲)CM?AN的值不确定(显然,CM可以为0,从而CM?AN的值为0);
(乙)CN?AM的值保持不变,且CN?AM=25.(2分)
证明如下:
连CP,由已知:∠ACB=90°,AB=10,
∵点P是AB中点,
∴CP=AP=5.(1分)
∴∠PCA=∠PAC=∠MPN.
∴∠PMA=∠CPN.
∴△CPN∽△AMP.(2分)
∴
=
.
∴CN?AM=25.(1分)
(3)∵∠MPN=∠A,
∴∠APN+∠ANP=∠APN+∠BPM,
∴∠ANP=∠BPM.(1分)
要使△BMP与△ANP相似,
①若∠MBP=∠A,则BM=AM,
又P是AB中点,
∴MP⊥AB,
∴△AMP∽△ABC.
∴AM=
,
从而CM=
;
②若∠BMP=∠A,
则∠BMP=∠MPN,
∴△BMP∽△BAM.
=
,
∴
=
,
∴BM=5
.
从而CM=
.
若∠PMN=90°,则CM=4,(1分)
若∠PNM=90°,则PN=3,CN=4,MN=
9 |
4 |
∴CM=
7 |
4 |
(2)(甲)CM?AN的值不确定(显然,CM可以为0,从而CM?AN的值为0);
(乙)CN?AM的值保持不变,且CN?AM=25.(2分)
证明如下:
连CP,由已知:∠ACB=90°,AB=10,
∵点P是AB中点,
∴CP=AP=5.(1分)
∴∠PCA=∠PAC=∠MPN.
∴∠PMA=∠CPN.
∴△CPN∽△AMP.(2分)
∴
CN |
AP |
CP |
AM |
∴CN?AM=25.(1分)
(3)∵∠MPN=∠A,
∴∠APN+∠ANP=∠APN+∠BPM,
∴∠ANP=∠BPM.(1分)
要使△BMP与△ANP相似,
①若∠MBP=∠A,则BM=AM,
又P是AB中点,
∴MP⊥AB,
∴△AMP∽△ABC.
∴AM=
25 |
4 |
从而CM=
7 |
4 |
②若∠BMP=∠A,
则∠BMP=∠MPN,
∴△BMP∽△BAM.
BM |
BA |
BP |
BM |
∴
BM |
10 |
5 |
BM |
∴BM=5
2 |
从而CM=
14 |
推荐律师服务:
若未解决您的问题,请您详细描述您的问题,通过百度律临进行免费专业咨询