如图①,在菱形ABCD和菱形BEFG中,∠ABC=∠BEF=60°,点A、B、E在同一条直线上,P是线段DF的中点,连接PG

如图①,在菱形ABCD和菱形BEFG中,∠ABC=∠BEF=60°,点A、B、E在同一条直线上,P是线段DF的中点,连接PG、PC.(1)求证:PG⊥PC,PG=3PC;... 如图①,在菱形ABCD和菱形BEFG中,∠ABC=∠BEF=60°,点A、B、E在同一条直线上,P是线段DF的中点,连接PG、PC.(1)求证:PG⊥PC,PG=3PC;(2)将图①中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转,使菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形ABCD的边AB在同一条直线上,其他条件不变(如图②),(1)中的结论仍然成立,请你说明理由;(3)若图①中∠ABC=∠BEF=α(0<α<180°),将菱形BEFG绕点B顺时针旋转任意角度,其他条件不变(如图③),判断PG与PC的位置关系和数量关系,并说明理由. 展开
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橙bluyf5935
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解答:(1)证明:延长GP,交CD于点H,
∵四边形ABCD与四边形BEFG是菱形,
∴CD∥AB∥GF,
∴∠PDH=∠PFG,∠DHP=∠PGF,
∵P是线段DF的中点,
∴DP=PF,
在△DPH和△FPG中,
∠PDH=∠PFG
∠DHP=∠PGF
DP=PF

∴△DPH≌△FPG(AAS),
∴PH=PG,DH=GF,
∵CD=BC,GF=GB=DH,
∴CH=CG,
∴CP⊥HG,
即PG⊥PC;
∵菱形ABCD,∠ABC=60°,
∴CD∥AB,
∴∠DCB=120°,
∵CH=CG,
∴∠CGP=∠CHP=30°,
即在Rt△CPG中,tan30°=
CP
GP

∴PG=
3
PC.

(2)猜想:(1)中的结论没有发生变化.
证明:如图,延长GP交AD于点H,连接CH,CG,
∵P是线段DF的中点,
∴FP=DP,
∵AD∥FG,
∴∠GFP=∠HDP,
在△GFP和△HDP中
∠GFP=∠HDP
PF=DP
∠GPF=∠DPH

∴△GFP≌△HDP(ASA),
∴GP=HP,GF=HD,
∵四边形ABCD是菱形,
∴CD=CB,∠HDC=∠ABC=60°.
由∠ABC=∠BEF=60°,且菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形ABCD的边AB在同一条直线上,
∴∠GBC=60°.
∴∠HDC=∠GBC.
∵四边形BEFG是菱形,
∴GF=GB=DH,
在△HDC和△GBC中
DC=BC
∠HDC=∠CBG
BG=DH

∴△HDC≌△GBC(SAS).
∴∠DCH=∠GCB,CH=CG,
∵PH=PG,
∴PG⊥PC,
∵菱形ABCD,∠ABC=60°,
∴CD∥AB,
∴∠DCB=120°,
∵∠HCD=∠GCB,
∴∠HCG=∠HCB+∠GCB=∠HCB+∠DCH=∠DCB=120°,
∵CH=CG,
∴∠CGP=∠CHP=30°,
即在Rt△CPG中,tan30°=
CP
GP

∴PG=
3
PC.

(3)解:PG与PC的位置关系是PG⊥CP,数量关系是GP=
CP
tan
1
2
α

理由是:延长GP交AD于点H,连接CH,CG,
∵P是线段DF的中点,
∴FP=DP,
∵AD∥FG,
∴∠GFP=∠HDP,
在△GFP和△HDP中
∠GFP=∠HDP
PF=DP
∠GPF=∠DPH

∴△GFP≌△HDP(ASA),
∴GP=HP,GF=HD,
∵四边形ABCD是菱形,
∴CD=CB,∠HDC=∠ABC=60°.
由∠ABC=∠BEF=60°,且菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形ABCD的边AB在同一条直线上,
∴∠GBC=60°.
∴∠HDC=∠GBC.
∵四边形BEFG是菱形,
∴GF=GB=DH,
在△HDC和△GBC中
DC=BC
∠HDC=∠CBG
BG=DH

∴△HDC≌△GBC(SAS).
∴∠DCH=∠GCB,CH=CG,
∵PH=PG,
∴PG⊥PC,
∵菱形ABCD,∠ABC=α,
∴CD∥AB,
∴∠DCB=180°-α,
∵∠HCD=∠GCB,
∴∠HCG=∠HCB+∠GCB=∠HCB+∠DCH=∠DCB=180°-α,
∵CH=CG,
∴∠CGP=∠CHP=
1
2
[180°-(180°-α)]=
1
2
α,
即在Rt△CPG中,tan
1
2
α=
CP
GP

∴PG=
CP
tan
1
2
α
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