Question

已知函数f（x）=2x?12x+1（1）判断函数f（x）的奇偶性，并证明．（2）求函数f（x）的单调性及值域

已知函数f（x）=2x?12x+1（1）判断函数f（x）的奇偶性，并证明．（2）求函数f（x）的单调性及值域．

Answer 1

（1）函数的定义域为R，
则f（-x）=

2?x?1

2?x+1

＝

1?2x

1+2x

=-

2x?1

2x+1

=-f（x），
即函数f（x）为奇函数．
（2）f（x）=

2x?1

2x+1

=1-

2

2x+1

，
∵y=2^x为增函数，∴y=2^x+1为增函数，
则f（x）=

2x?1

2x+1

=1-

2

2x+1

为增函数，
由y=f（x）=

2x?1

2x+1

得（1-y）2^x=1+y，
当y=1时，不成立，则方程等价为2^x=

1+y

1?y

，
由2^x=

1+y

1?y

＞0，解得-1＜y＜1，
故函数的值域为（-1，1）．