Question

已知：如图（1），在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D、E分别是AB、AC边的中点，将△ABC绕点A顺时针旋转α

已知：如图（1），在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D、E分别是AB、AC边的中点，将△ABC绕点A顺时针旋转α角（0°＜α＜180°），得到△AB′C′（如图（2））．（1）探究DB′与EC′的数量关系，并给予证明；（2）当旋转角α=60°时，猜想DB′与AE的位置关系并说明理由．

Answer 1

解答：（1）DB'=EC'…（1分）
证明：D、E分别是AB、AC边的中点，
∴AD=

1

2

AB，AE=

1

2

AC．
∵AB=AC，
∴AD=AE．
∵△B′AC′是△BAC顺时针旋转得到，
∴∠DAB′=∠EAC′=α，AC′=AC=AB′=AB，
在△B′AD与△C′AE中，

AD＝AE ∠DAB′＝∠EAC′ AB′＝AC′

，
∴△B′AD≌△C′AE（SAS），
∴DB′=EC′；

（2）猜想：DB'∥AE．
延长AE使AE=EF，连接FC'．
∴AC'=AF
∵α=60°
∴△AFC'是等边三角形
∴C'E⊥AF，即∠AEC'=90°
由△B′AD≌△C′AE，得∠ADB'=∠AEC'=90°
∴∠ADB'=∠DAE=90°
∴DB'∥AE．