Question

已知函数f（x）为定义域在（0，+∞）上的增函数，且满足f（2）=1，f（xy）=f（x）+f（y）（1）求f（1），

已知函数f（x）为定义域在（0，+∞）上的增函数，且满足f（2）=1，f（xy）=f（x）+f（y）（1）求f（1），f（4）的值． （2）如果f（x）-f（x-3）＜2，求x的取值范围．

Answer 1

（1）∵f（xy）=f（x）+f（y），∴令x=y=1，则f（1）=2f（1），即f（1）=0，
令x=y=2，则f（4）=2f（2）=2．
（2）f（x）-f（x-3）＜2即f（x）＜f（x-3）+2，
即f（x）＜f（x-3）+f（4），即f（x）＜f（4x-12），
∵函数f（x）为定义域在（0，+∞）上的增函数，
∴

x＞0 x?3＞0 x＜4x?12

即

x＞0 x＞3 x＞4

∴x＞4，
故x的取值范围是（4，+∞）．