Question

如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴，y轴分别交于点A（6，0），B（0，8），点C的坐标为（0，m），过

如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴，y轴分别交于点A（6，0），B（0，8），点C的坐标为（0，m），过点C作CE⊥AB于点E，点D为x轴上一动点，连结CD，DE，以CD，DE为边作 □ CDEF。 （1）当0< m <8时，求CE的长（用含m的代数式表示）；（2）当m =3时，是否存在点D，使 □ CDEF的顶点F恰好落在y轴上？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；（3）点D在整个运动过程中，若存在唯一的位置，使得 □ CDEF为矩形，请求出所有满足条件的m的值。

Answer 1

（1） （2）存在（3）m的值为 或0或 或

解：（1）∵A（6，0），B（0，8），∴OA=6，OB=8。∴AB=10。 ∵∠CEB=∠EBC=90 0 ，∠OBA=∠EBC，∴△BCE∽△BAO。 ∴ ，即 。∴ 。 （2）存在。  ∵m =3，∴BC=8－m=5， 。 ∴根据勾股定理得BC=4。 ∴AE=AB－BE=6。 ∵点F落在y轴上（如图1）， ∴DE∥BO。 ∴△EDA∽△BOA。∴ ，即 。 解得： 。∴点D的坐标为（ ，0）。 （3）取CE的中点P，过点P作PG⊥y轴于点G， 则 。 ①当0< m <8时（如图2）， 易证∠GCP=∠BAO， ∴ 。 ∴ 。 ∴ 。 由题意，根据矩形对角线平分且相等的性质，得OG=CP， ∴ ，解得 。 ②当m≥8时，OG＞CP，不存在满足条件的m的值。 ③当m =0，即点C与点O重合时（如图3）， 满足题意。 ④当m＜0时，分两种情况： ⅰ）当点E与点A重合时（如图4）， 易证△COA∽△AOB， ∴ ，即 。 解得 。 ⅱ）当点E与点A重合时（如图5）， ， 由题意，得OG=CP， ∴ 。 解得 。 综上所述，m的值为 或0或 或 。 （1）由△BCE∽△BAO即可用含m的代数式表示出CE的长。 （2）由△EDA∽△BOA即可求得 ，从而得到点D的坐标。 （3）分①0< m <8，②m≥8，③m =0，④m＜0四种情况讨论。