Question

如图，已知点C为线段AB上一点，△ACM、△BCN是等边三角形．（1）求证：AN=BM；（2）求∠NOB的度数．（3）

如图，已知点C为线段AB上一点，△ACM、△BCN是等边三角形．（1）求证：AN=BM；（2）求∠NOB的度数．（3）若把原题中“△ACM和△BCN是两个等边三角形”换成两个正方形（如图），AN与BM的数量关系如何？请说明理由．

Answer 1

（1）证明：
∵△ACM、△CBN都是等边三角形，
∴AC=CM，CN=CB，∠ACM=∠BCN=60°，
∴∠ACM+∠MCN=∠BCN+∠MCN，
∴∠ACN=∠BCM，
∵在△ACN和△MCB中

AC＝CM ∠ACN＝∠MCB CN＝CB

，
∴△ACN≌△MCB（SAS），
∴AN=MB；
（2）∵∠BON=∠AOM，且∠AOM=∠NAB+∠ABM，
∴∠BON=∠NAB+∠ABM．
∴∠BON=∠CMB+∠ABM．
∵∠CMB+∠ABM=∠ACM=60°，
∴∠BON=60°．
（3）AN=BM，
理由如下：
∵四边形AFMC和四边形NCBF是正方形，
∴AC=CM，∠ACN=∠MCB=90°，CN=CB，
在△ACN和△MCB中，

AC＝CM ∠ACN＝∠MCB＝90° CN＝CB

，
∴△ACN≌△MCB，
∴AN=BM．