Question

如图，在平行四边形ABCD中，延长CD到E，使DE=DC，连接BE交AD于F，交AC于G．（1）若BE为∠ABC的平分线，求

如图，在平行四边形ABCD中，延长CD到E，使DE=DC，连接BE交AD于F，交AC于G．（1）若BE为∠ABC的平分线，求证：BC=AF+DE；（2）若BC=2AB，DE=1，∠ABC=60°，求GF的长．

Answer 1

（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=CD，
∴∠AFB=∠CBF，
∵BE为∠ABC的平分线，
∴∠ABF=∠CBF，
∴∠AFB=∠ABF，
∴AF=AB，
∴CD=AF，
同理：BC=CE，
∴BC=CE=CD+DE=AF+DE；

（2）在BC上截取BN=AB=1，连接AN，
∵∠ABC=60°，
∴△ANB是等边三角形，
∴AN=1=BN，∠ANB=∠BAN=60°，
∵BC=2AB=2，
∴CN=1=AN，
∴∠ACN=∠CAN=

1

2

×60°=30°，
∴∠BAC=90°．
∴∠CBF=∠E=30°，
∴∠ABF=∠CBF=30°，
∴BG=

AB

cos30°

=

2 3

3

，
∴AF=AB=DE=1，BC=2AB=2DE=2，
∵△AGF∽△CGB，
∴GF：BG=AF：BC=1：2，
∴GF=

3

3

．

Answer 2

（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=CD，
∴∠AFB=∠CBF，
∵BE为∠ABC的平分线，
∴∠ABF=∠CBF，
∴∠AFB=∠ABF，
∴AF=AB，
∴CD=AF，
同理：BC=CE，
∴BC=CE=CD+DE=AF+DE；
2、∵BC=2AB,DE=1
∴AB=AF=DC=DE=1
BC=2AB=2