Question

已知函数f（x）=ln（1+x）+ax，（a∈R），（e=2.718281828…）（1）当a=-1时，求函数f（x）的单调区间及

已知函数f（x）=ln（1+x）+ax，（a∈R），（e=2.718281828…）（1）当a=-1时，求函数f（x）的单调区间及极值；（2）令g（x）=（1-a）x，当x∈[e-1，2]时，不等式f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围；（3）令an=1+n2n，记数列{an}的前n项积为Tn，求证：Tn＜e2．

Answer 1

（1）当a=-1时，f（x）=ln（1+x）-x，（x＞-1）∴f′(x)＝

1

1+x

?1＝

?x

1+x

当x∈（-1，0）时f'（x）＞0；当x∈（0，+∞）时f'（x）＜0
∴当x=0时f_极大值（x）=f（0）=0，无极小值，
且函数f（x）的单调增区间为（-1，0），单调减区间为（0，+∞）；（4分）
（2）当x∈[e-1，2]时，不等式f（x）≥g（x）恒成立等价于ln（1+x）-（1-2a）x≥0
即：1?2a≤

ln(1+x)

x

恒成立．令φ(x)＝

ln(1+x)

x

，x∈[e?1，2]，∴φ′(x)＝

x 1+x ?ln(1+x)

x2

当x∈[e-1，2]时，

x

1+x

＜1，ln(1+x)＞1则：φ′(x)＜0∴φmin(x)＝φ(2)＝

ln3

2

∴1?2a≤

ln3

2

∴a≥

2?ln3

4

则实数a的取值范围[

2?ln3

4

，+∞)（9分）
（3）由（1）得：当x＞0时，f（x）在区间（0，+∞）单调递减，则：ln（1+x）-x＜0，
即：ln（1+x）＜x，∴lnan＝ln(1+

n

2n

)＜

n

2n

，
则：lna1+lna2+…+lnan＜

1

2

+

2

22

+

3

23

+…+

n

2n

记：Mn＝

1

2

+

2

22

+

3

23

+…+

n

2n

①∴

1

2

Mn＝

1

22

+

2

23

+…+

n?1

2n

+

n

2n+1

②
①-②得：

1

2

Mn＝

1

2

+

1

22

+…+

1

2n

?

n

2n+1

∴

1

2

Mn＝1?

1

2n

?

n

2n+1

∴Mn＝2?

n+2

2n+1

＜2（12分）∴lnT_n＜2则：Tn＜e2（14分）