Question

勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣．l955年希腊发行了二枚以勾股图为背景的邮票．所谓勾股图

勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣．l955年希腊发行了二枚以勾股图为背景的邮票．所谓勾股图是指以直角三角形的三边为边向外作正方形构成，它可以验证勾股定理．在上图的勾股图中，已知∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=8．作△PQR使得∠R=90°，点H在边QR上，点D，E在边PR上，点G，F在边PQ上，那么△PQR的周长等于54+26354+263．

Answer 1

解答：解：延长BA交QR于点M，连接AR，AP．
∵AC=GC，BC=FC，∠ACB=∠GCF，
∴△ABC≌△GFC，
∴∠CGF=∠BAC=30°，
∴∠HGQ=60°，
∵∠HAC=∠BAD=90°，
∴∠BAC+∠DAH=180°，
又∵AD∥QR，
∴∠RHA+∠DAH=180°，
∴∠RHA=∠BAC=30°，
∴∠QHG=60°，
∴∠Q=∠QHG=∠QGH=60°，
∴△QHG是等边三角形．
AC=AB?cos30°=8×

3

2

=4

3

．
则QH=HA=HG=AC=4

3

．
在直角△HMA中，HM=AH?sin60°=4

3

×

3

2

=6．AM=HA?cos60°=2

3

．
在直角△AMR中，MR=AD=AB=8．
∴QR=QH+HM+MR=4

3

+6+8=14+4

3

．
∴QP=2QR=28+8

3

．
PR=QR?

3

=14

3

+12．
∴△PQR的周长等于RP+QP+QR=54+26

3

．
故答案为：54+26

3

．