Question

如图，正方形ABCD的对角线AC、BD交于点O，∠ABD的平分线BE交AC于G，交AD于F，且DE⊥BE．（1）求证：DE=12

如图，正方形ABCD的对角线AC、BD交于点O，∠ABD的平分线BE交AC于G，交AD于F，且DE⊥BE．（1）求证：DE=12BF；（2）若BG=2，求BF的长．

Answer 1

（1）证明：延长DE和BA交于M，
∵DE⊥BE，
∴∠BED=∠BEM=90°，
∵BF平分∠ABD，
∴∠ABE=∠DBE，
在△MBE和△DBE中
∠MEB=∠DEB，BE=BE，∠MBE=∠DBE，
∴△MBE≌△DBE，
∴DE=EM=

1

2

DM，
∵正方形ABCD，
∴AB=AD，∠MAD=∠BAD=90°，
∵∠EFD=∠AFB，
∴∠MDA=∠ABF，
在△ABF和△ADM中
∠MAD=∠BAF，AB=AD，∠ADM=∠ABF，
∴△ABF≌△ADM，
∴BF=DM，
∴DE=

1

2

BF．

（2）解：∵正方形ABCD，
∴∠BAC=∠ADB=

1

2

×90°=45°，
∵∠ABG=∠DBG，
∴△ABG∽△DBF，
∴

BG

BF

=

AB

BD

=

AB

2 AB

=

1

2

，
∴BF=2．