Question

已知函数f（x）=x|x2-a|，a∈R．（Ⅰ）当a≤0时，求证函数f（x）在（-∞，+∞）上是增函数；（Ⅱ）当a=3

已知函数f（x）=x|x2-a|，a∈R．（Ⅰ）当a≤0时，求证函数f（x）在（-∞，+∞）上是增函数；（Ⅱ）当a=3时，求函数f（x）在区间[0，b]上的最大值．

Answer 1

（Ⅰ）解：∵a≤0，∴x²-a≥0，∴f（x）=x（x²-a）=x³-ax，
∴f^′（x）=3x²-a，
∵f^′（x）≥0对x∈R成立，
∴函数f（x）在（-∞，+∞）上是增函数．
（Ⅱ）解：当a=3时，f（x）=x|x²-3|=

3x?x3，当? 3 ＜x＜ 3 x3?3x，当x≤? 3 或x≥ 3

（i）当x＜-

3

，或x＞

3

时，f^′（x）=3x²-3=3（x-1）（x+1）＞0．
（ii）当-

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