如图，已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E，F分别是BC，PC的中点．（1）
如图，已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E，F分别是BC，PC的中点．（1）证明：AE⊥平面PAD；（2）取AB=2，若...
如图，已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E，F分别是BC，PC的中点．（1）证明：AE⊥平面PAD；（2）取AB=2，若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正切值为62，求二面角E-AF-C的余弦值．
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（本小题满分13分）
（1）证明：∵四边形ABCD为菱形，∠ABC=60°，
∴△ABC为正三角形，∵E为BC的中点，
∴AE⊥BC…（1分）
又∵BC∥AD，∴AE⊥AD…（2分）
∵PA⊥平面ABCD，AE?平面ABCD，
∴PA⊥AE…（3分）
而PA?平面PAD，AD?平面PAD，PA∩AD=A，
∴AE⊥平面PAD．…（5分）
（2）解法一：H为PD上任意一点，连接AH，EH，
由（1）知AE⊥平面PAD，则∠EHA为EH与平面PAD所成的角，…（6分）
在RT△EAH中，AE＝
，
∴当AH最短时，即当AH⊥PD时，∠EHA最大．…（7分）
此时tan∠EHA＝
＝
＝
，∴AH＝
，
又∵AD=2，∴∠ADH=45°，∴PA=2…（8分）
∵PA⊥平面ABCD，PA?平面PAC，
∴平面PAC⊥平面ABCD，
过E作EO⊥AC于O，则EO⊥平面PAC，
过O作OS⊥AF于S，连接ES，则∠ESO为二面角E-AF-C的平面角，…（10分）
在RT△AOE中，EO＝AE?sin300＝
，AO＝AE?cos300＝
，
又F是PC的中点，在RT△ASO中，SO＝AO?sin450＝
，
又SE＝
（1）证明：∵四边形ABCD为菱形，∠ABC=60°，
∴△ABC为正三角形，∵E为BC的中点，
∴AE⊥BC…（1分）
又∵BC∥AD，∴AE⊥AD…（2分）
∵PA⊥平面ABCD，AE?平面ABCD，
∴PA⊥AE…（3分）
而PA?平面PAD，AD?平面PAD，PA∩AD=A，
∴AE⊥平面PAD．…（5分）
（2）解法一：H为PD上任意一点，连接AH，EH，
由（1）知AE⊥平面PAD，则∠EHA为EH与平面PAD所成的角，…（6分）
在RT△EAH中，AE＝
| 3 |
∴当AH最短时，即当AH⊥PD时，∠EHA最大．…（7分）
此时tan∠EHA＝
| AE |
| AH |
| ||
| AH |
| ||
| 2 |
| 2 |
又∵AD=2，∴∠ADH=45°，∴PA=2…（8分）
∵PA⊥平面ABCD，PA?平面PAC，
∴平面PAC⊥平面ABCD，
过E作EO⊥AC于O，则EO⊥平面PAC，
过O作OS⊥AF于S，连接ES，则∠ESO为二面角E-AF-C的平面角，…（10分）
在RT△AOE中，EO＝AE?sin300＝
| ||
| 2 |
| 3 |
| 2 |
又F是PC的中点，在RT△ASO中，SO＝AO?sin450＝
3
| ||
| 4 |
又SE＝
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