Question

如图，已知四棱锥P-ABCD底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E、F分别是BC、PC的中点．（1）证明

如图，已知四棱锥P-ABCD底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E、F分别是BC、PC的中点．（1）证明：AE⊥PD；（2）设AB=2，若H为线段PD上的动点，EH与平面PAD所成的最大角的正切值为 6 2 ，求此时异面直线AE和CH所成的角．

Answer 1

（1）证明：∵四边形ABCD为棱形，∠ABC=60°， ∴△ABC是等边三角形， ∵E是BC的中点，∴AE⊥BC， 又∵BC ∥ AD，∴AE⊥AD， ∵PA⊥平面ABCD，AE?平面ABCD，∴PA⊥AE， ∵PA?平面PAD，AD?平面PAD，且PA∩AD=A， ∴AE⊥平面PAD， 又∵PD?平面PAD，∴AE⊥PD． （2）设AB=2，H为PD上任意一点， 连接AH，EH，由（1）知AE⊥平面PAD， ∴∠EHA为EH与平面PAD所成的角， 在Rt△EAH中，AE= 3 ，所以当AH最短时，即AH⊥PD时，EH与平面PAD所成的角∠EHA最大， 此时tan∠EHA=l 因此AH=AC 1 ∥ 面CDB 1 ．又AD=2，所以∠ADH=45°，所以PA=2． 此时异面直线AE和CH异面直线所成角30°．