Question

已知△ABC，以AC为边在△ABC外作等腰△ACD，其中AC=AD．（1）如图1，若AB=AE，∠DAC=∠EAB=60°，求∠BFC

已知△ABC，以AC为边在△ABC外作等腰△ACD，其中AC=AD．（1）如图1，若AB=AE，∠DAC=∠EAB=60°，求∠BFC的度数；（2）如图2，∠ABC=α，∠ACD=β，BC=4，BD=6．①若α=30°，β=60°，AB的长为2525；②若改变α，β的大小，但α+β=90°，△ABC的面积是否变化？若不变，求出其值；若变化，说明变化的规律．

Answer 1

解答：
解：（1）∵AE=AB，AD=AC，
∵∠EAB=∠DAC=60°，
∴∠EAC=∠EAB+∠BAC，∠DAB=∠DAC+∠BAC，
∴∠EAC=∠DAB，
在△AEC和△ABD中

AE＝AB ∠EAC＝∠BAD AC＝AD

∴△AEC≌△ABD（SAS），
∴∠AEC=∠ABD，
∵∠BFC=∠BEF+∠EBF=∠AEB+∠ABE，
∴∠BFC=∠AEB+∠ABE=120°，
故答案为：120°；


（2）①如图2，以AB为边在△ABC外作正三角形ABE，连接CE．
由（1）可知△EAC≌△BAD．
∴EC=BD．
∴EC=BD=6，
∵∠BAE=60°，∠ABC=30°，
∴∠EBC=90°．
在RT△EBC中，EC=6，BC=4，
∴EB=

EC2?BC2

=

62?42

=2

5

∴AB=BE=2

5

．

②若改变α，β的大小，但α+β=90°，△ABC的面积不变化，
以下证明：
如图2，作AH⊥BC交BC于H，过点B作BE∥AH，并在BE上取BE=2AH，连接EA，EC．并取BE的中点K，连接AK．
∵AH⊥BC于H，
∴∠AHC=90°．
∵BE∥AH，
∴∠EBC=90°．
∵∠EBC=90°，BE=2AH，
∴EC²=EB²+BC²=4AH²+BC²．
∵K为BE的中点，BE=2AH，
∴BK=AH．
∵BK∥AH，
∴四边形AKBH为平行四边形．
又∵∠EBC=90°，
∴四边形AKBH为矩形．∠ABE=∠ACD，
∴∠AKB=90°．
∴AK是BE的垂直平分线．
∴AB=AE．
∵AB=AE，AC=AD，∠ABE=∠ACD，
∴∠EAB=∠DAC，
∴∠EAB+∠EAD=∠DAC+∠EAD，
即∠EAC=∠BAD，
在△EAC与△BAD中

AB＝AE ∠EAC＝∠BAD AC＝AD

∴△EAC≌△BAD．
∴EC=BD=6．
在RT△BCE中，BE=

EC2?BC2

=2

5

，
∴AH=

1

2

BE=

5

，
∴S_△ABC=

1

2

BC?AH=2

5