Question

如图，在正方形ABCD中，E、F分别为BC、AB上两点，且BE=BF，过点B作AE 的垂线交AC于点G，过点G作CF的垂线

如图，在正方形ABCD中，E、F分别为BC、AB上两点，且BE=BF，过点B作AE 的垂线交AC于点G，过点G作CF的垂线交BC于点H延长线段AE、GH交于点M．（1）求证：∠BFC=∠BEA；（2）求证：AM=BG+GM．

Answer 1

证明：（1）在正方形ABCD中，AB=BC，∠ABC=90°， 在△ABE和△CBF中， AB=BC ∠ABC=∠ABC BE=BF ， ∴△ABE≌△CBF（SAS）， ∴∠BFC=∠BEA； （2）连接DG，在△ABG和△ADG中， AB=AD ∠DAC=∠BAC=45° AG=AG ， ∴△ABG≌△ADG（SAS）， ∴BG=DG，∠2=∠3， ∵BG⊥AE， ∴∠BAE+∠2=90°， ∵∠BAD=∠BAE+∠4=90°， ∴∠2=∠3=∠4， ∵GM⊥CF， ∴∠BCF+∠1=90°， 又∠BCF+∠BFC=90°， ∴∠1=∠BFC=∠2， ∴∠1=∠3， 在△ADG中，∠DGC=∠3+45°， ∴∠DGC也是△CGH的外角， ∴D、G、M三点共线， ∵∠3=∠4（已证）， ∴AM=DM， ∵DM=DG+GM=BG+GM， ∴AM=BG+GM．