Question

1. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别为BC、AB上两点，且BE=BF，过点B作AE的垂线交AC于点G，过点G作CF的垂线

1. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别为BC、AB上两点，且BE=BF，过点B作AE的垂线交AC于点G，过点G作CF的垂线交BC于点H，延长线段AE、GH交于点M.
（1）求证：∠BFC=∠BEA；
（2）求证：AM=BG+GM.

Answer 1

如图，

（1）∵AB=CB，∠ABE=∠CBF，BE=BF，

∴△ABE≌△CBF，

∴∠BFC=∠BEA

 

（2）连结DG，

∵CB=CD，∠BCG=∠DCG=45°，CG=CG，

∴△BCG≌△DCG

∴BG=DG，∠CDG=∠CBG，

∵AE⊥BG，

∴∠CBG+∠AEB=90°，

∴∠CDG+∠BFC=90°，

∵AB∥DC，

∴∠BFC=∠DCF，

∴∠CDG+∠DCF=90°，

∴DG⊥CF，

又∵MG⊥CF，

∴点D、G、M共线，

∴BG+GM=DG+GM=DM，

∵∠BAE+∠ABG=∠BAE+∠CBG=90°，

∴∠BAE=∠CBG=∠CDG，

∴∠MAD=∠MDA,

∴MA=MD=BG+GM