Question

如图1，在正方形ABCD中，E是BC上一点，F是AE上一点，过点F作GH⊥AF，交直线AB于G，交直线CD于H．（

如图1，在正方形ABCD中，E是BC上一点，F是AE上一点，过点F作GH⊥AF，交直线AB于G，交直线CD于H．（1）求证：BG＝CH－BE；（2）如图2，若F是AE延长线上一点，其余条件不变，试探究：BG、BE、CH之间的相等的数量关系．

Answer 1

做GH⊥CD于M

∵ABCD是正方形

∴易得BCMG是矩形，GM=BC=AB，BG=CM

∠AGM==90°

∵GH⊥AF

∴∠BAE+∠AGF=90°，∠AGF+∠MGH=90°

∴∠BAE=∠MGH

∴RT△ABE≌RT△GHM(ASA)

∴BE=MH

∴CM=CH-MH=CH-BE

 ∴BG=CH-BE

2、做HN⊥AG于N

那么易得：BNHC是矩形

∴CH=BN，HN=BC=AB

∠HNG=90°

∵AF⊥GH

∴∠BAE=∠GAF=90°-∠AGH

∠NHG=90°-∠AGH

∴∠BAE=∠NHG

∴RT△ABE≌RT△HNG(ASA)

∴BE=NG

∴BG=BN+NG=BE+CH

即BG=CH+BE