Question

已知函数f(x)的定义域为R，且满足f(x+2)=-f(x)?（1）求证：f(x)是周期函数；（2）若f(x)为奇函数，且当0

已知函数f(x)的定义域为R，且满足f(x+2)=-f(x)?（1）求证：f(x)是周期函数；（2）若f(x)为奇函数，且当0≤x≤1时，f(x)= x,求使f(x)=- 在［0，2 009］上的所有x的个数.?

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Answer 1

(Ⅰ)见解析  (Ⅱ) 502

（1）证明： ∵f（x+2）=-f（x），?∴f（x+4）=-f（x+2）=-［-f（x）］=f（x）， ∴f（x）是以4为周期的周期函数. （2）解： 当0≤x≤1时，f(x)= x,?设-1≤x≤0,则0≤-x≤1,∴f（-x）= （-x）=- x.? ∵f(x)是奇函数，∴f（-x）=-f（x）,?∴-f（x）=- x，即f(x)= x. 故f(x)= x(-1≤x≤1) 又设1＜x＜3,则-1＜x-2＜1,? ∴f(x-2)= (x-2), 又∵f（x-2）=-f（2-x）=-f（（-x）+2）=-［-f（-x）］=-f（x），? ∴-f（x）= （x-2），?∴f（x）=- （x-2）（1＜x＜3）.  ∴f（x）= 由f(x)=- ,解得x=-1.? ∵f（x）是以4为周期的周期函数.?故f(x)=- 的所有x="4n-1" (n∈Z). 令0≤4n-1≤2 009,则 ≤n≤ ,?又∵n∈Z，∴1≤n≤502 （n∈Z）,? ∴在［0，2 009］上共有502个x使f(x)=- .