Question

已知函数f（x）=lnx，g（x）=e x ， （Ⅰ）若函数φ（x）= f（x）- ，求函数φ（x）的单调区间； （Ⅱ

已知函数f（x）=lnx，g（x）=e x ， （Ⅰ）若函数φ（x）= f（x）- ，求函数φ（x）的单调区间； （Ⅱ）设直线l为函数的图象上一点A（x 0 ，f（x 0 ））处的切线．证明：在区间（1，+∞）上存在唯一的x 0 ，使得直线l与曲线y=g（x）相切。

Answer 1

解：（Ⅰ） ， ， ∵ 且 ， ∴ ， ∴函数 的单调递增区间为（0，1）和（1，+∞）。 （Ⅱ）∵ ， ∴ ， ∴切线l的方程为 ， 即 ， ① 设直线l与曲线y=g（x）相切于点 ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴直线l也为 ， 即 ，  ② 由①②得 ， ∴ ， 下证：在区间（1，+∞）上 存在且唯一， 由（Ⅰ）可知， 在区间（1，+∞）上递增， 又 ， ， 结合零点存在性定理，说明方程 必在区间 上有唯一的根， 这个根就是所求的唯一 ； 故结论成立。