Question

已知点P是椭圆x216+y212＝1(y≠0)上的动点，F1，F2为椭圆的两个焦点，O是坐标原点，若M是∠F1PF2平分线上

已知点P是椭圆x216+y212＝1(y≠0)上的动点，F1，F2为椭圆的两个焦点，O是坐标原点，若M是∠F1PF2平分线上的一点，且F1M⊥MP，则OM的取值范围是______．

Answer 1

如图，延长PF₂，F₁M，交与N点，∵PM是∠F₁PF₂平分线，且F₁M⊥MP，
∴|PN|=|PF₁|，M为F₁F₂中点，
连接OM，∵O为F₁F₂中点，M为F₁F₂中点
∴|OM|=

1

2

|F₂N|=

1

2

||PN|-|PF₂||=

1

2

||PF₁|-|PF₂||
∵在椭圆

x2

16

+

y2

12

＝1(y≠0)中，设P点坐标为（x₀，y₀）
则|PF₁|=a+ex₀，|PF₂|=a-ex₀，
∴||PF₁|-|PF₂||=|a+ex₀+a-ex₀|=|2ex₀|=|x₀|
∵P点在椭圆

x2

16

+

y2

12

＝1(y≠0)上，∴|x₀|∈[0，4]，
又∵当|x₀|=4时，F₁M⊥MP不成立，∴|x₀|∈[0，4）
∴|OM|∈[0，2）
故答案为[0，2）