Question

（2013?安顺）如图，AB是⊙O直径，D为⊙O上一点，AT平分∠BAD交⊙O于点T，过T作AD的垂线交AD的延长线于点

（2013?安顺）如图，AB是⊙O直径，D为⊙O上一点，AT平分∠BAD交⊙O于点T，过T作AD的垂线交AD的延长线于点C．（1）求证：CT为⊙O的切线；（2）若⊙O半径为2，CT=3，求AD的长．

Answer 1

（1）证明：连接OT，
∵OA=OT，
∴∠OAT=∠OTA，
又∵AT平分∠BAD，
∴∠DAT=∠OAT，
∴∠DAT=∠OTA，
∴OT∥AC，（3分）
又∵CT⊥AC，
∴CT⊥OT，
∴CT为⊙O的切线；（5分）

（2）解：过O作OE⊥AD于E，则E为AD中点，
又∵CT⊥AC，
∴OE∥CT，
∴四边形OTCE为矩形，（7分）
∵CT=

3

，
∴OE=

3

，
又∵OA=2，
∴在Rt△OAE中，AE＝

OA2?OE2

＝

22?( 3 )2

＝1，
∴AD=2AE=2．（10分）