在三角形ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=bcosC+csinB(1)求B角大小;(2)若b=2,求三
在三角形ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=bcosC+csinB(1)求B角大小;(2)若b=2,求三角形ABC面积的最大值....
在三角形ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=bcosC+csinB(1)求B角大小;(2)若b=2,求三角形ABC面积的最大值.
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(1)∵a=bcosC+csinB,
∴根据正弦定理,得sinA=sinBcosC+sinBsinC…①,
又∵sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC…②,
∴比较①②,可得sinB=cosB,即tanB=1,
结合B为三角形的内角,可得B=45°;
(2)∵△ABC中,b=2,B=45°,
∴根据余弦定理b2=a2+c2-2accosB,可得a2+c2-2accos45°=4,
化简可得a2+c2-
ac=4,
∵a2+c2≥2ac,∴4=a2+c2-
ac≥(2-
)ac.
由此可得ac≤
=4+2
,当且仅当a=c时等号成立.
∴△ABC面积S=
acsinB=
ac≤
(4+2
)=
+1.
综上所述,当且仅当a=c时,△ABC面积S的最大值为
+1.
∴根据正弦定理,得sinA=sinBcosC+sinBsinC…①,
又∵sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC…②,
∴比较①②,可得sinB=cosB,即tanB=1,
结合B为三角形的内角,可得B=45°;
(2)∵△ABC中,b=2,B=45°,
∴根据余弦定理b2=a2+c2-2accosB,可得a2+c2-2accos45°=4,
化简可得a2+c2-
2 |
∵a2+c2≥2ac,∴4=a2+c2-
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由此可得ac≤
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2-
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∴△ABC面积S=
1 |
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4 |
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综上所述,当且仅当a=c时,△ABC面积S的最大值为
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