Question

圆：x2+y2-4x+2y-k=0与y轴交于A、B两点，其圆心为P，若∠APB=90°，则实数k的值是______

圆：x2+y2-4x+2y-k=0与y轴交于A、B两点，其圆心为P，若∠APB=90°，则实数k的值是______．

Answer 1

由题意，令x=0，得A（0，y₁），B（0，y₂），
则y²+2y+k=0，∴y₁+y₂=-2，y₁y₂=k．
由∠APB=90°，得

AP

?

BP

=0．
∵圆心坐标为P（2，-1），
∴

AP

=（2，-1-y₁），

BP

=（2，-1-y₂），
从而4+（1+y₁）（1+y₂）=0，∴5+y₁+y₂+y₁y₂=0，
∴5-2+k=0，解得k=-3．
故答案为：-3．