Question

求解几道高中的数学题!!

1.数列｛an｝是公差不为0的等差数列,且a7,a10,a15是一等比数列｛bn｝的连续三项,若该等比数列的首项b1=3,求bn.
2.公差不为0的等差数列的第2,3,6项依次构成一等比数列,求该等比数列的公比q.
3.各项都是正数的等比数列｛an｝,公比≠1,a5,a7,a8成等差数列,求公比q.

Answer 1

设a1=a，
则a7=a+6d
a10=a+9d
a15=a+14d
所以(a+9d)^2=(a+6d)(a+14d)
a^2+18ad+81d^2=a^2+20ad+84d^2
2ad+3d^2=0
d≠0
2a=-3d
a=-3d/2

q=a15/a10=(a+14d)/(a+9d)=(-3d/2+14d)/-3d/2+9d)=5/3
bn=3*(5/3)^(n-1)

过程：
设等差数列首项为a，公差为d(d不等于0)，则a2＝a+d，a3＝a＋2d，a6=a+5d
因为a2、a3、a6成等比数列，设其公比为q
则a2×a6＝a3×a3
即（a+d）（a+5d）=(a+2d)(a+2d)
解得d×d＋2ad=0，以为d不等于0
所以d＝－2a
所以a2=-a,a3=-3a,a6=-9a
所以q＝a3/a2=-3a/-a=3
所以公比为3

a5,a7,a8成等差数列
2a7=a5+a8
2a5*q^2=a5+a5*q^3
a5>0
2q^2=1+q^3
q^3-2q^2+1=0

q^3-q^2-(q^2-1)=0
q^2(q-1)-(q+1)(q-1)=0
(q^2-q-1)(q-1)=0
q不为1
q^2-q-1=0
q=（1+√5）/2
或
q=（1－√5）/2

an>0 q>0 负舍

所以q=（1+√5）/2

Answer 2

1.bn=3*（5/3）^(n-1)
2.设a3=a2+d,a6=a2+4d，由於a2,a3,a6成等比数列，所以a2*a6=a3^2
也就是 a2*(a2+4d)=(a2+d)^2
得出 d=2*a2
所以 公比q=a3/a2=3
3.设a7=a5*q^2,a8=a5*q^3，由於a5,a7,a8成等差数列，所以a5+a8=2*a7
也就是 1+q^3=2*q^2
解出 q=1（舍去）或q=(1+sqrt(5))/2或q=(1-sqrt(5))/2（负数舍去）
sqrt(x)表示x的算术平方根。