Question

已知(x-3)^-1/3<(1+2x)^-1/3,求x取值范围

-1/3是上角标，谢谢！

Answer 1

解：y=a^x(a>0且a≠1)
当a>1时，y=a^x为增函数。y随x增大而增大，随x减小而减小
当0<a<1时，y=a^x为减函数。y随x增大而减小，随x减小而增大

分类讨论：
(x-3)^-1/3<(1+2x)^-1/3
当x-3>1且1+2x>1时，此时y为增函数∴x-3<1+2x(解这三个不等式)
得：x∈(4,+∞)

当0<x-3<1且0<1+2x<1时,此时y为减函数∴x-3>1+2x(解这三个不等式)
得：空集

∴x∈(4,+∞)

Answer 2

解：因为f(x)=x^(-1/3)在(-∞，0)、(0，+∞)上是单调减函数
所以(x-3)^(-1/3)＜(1+2x)^(-1/3)有如下三种情况：
(1)x-3＜0,1+2x＜0,x-3＞1+2x
解得x＜-4
(2)x-3＜0,1+2x＞0
解得-1/2＜x＜3
(3)x-3＞0,1+2x＞0,x-3＞1+2x
无解

综上，x＜-4或-1/2＜x＜3