Question

已知函数f（x）=2cos 2 ωx+2sinωxcosωx+1（x∈R，ω＞0）的最小值正周期是 π 2 ．（Ⅰ）

已知函数f（x）=2cos 2 ωx+2sinωxcosωx+1（x∈R，ω＞0）的最小值正周期是 π 2 ．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求函数f（x）的最大值，并且求使f（x）取得最大值的x的集合．

Answer 1

（Ⅰ） f(x)=2? 1+cos2ωx 2 +sin2ωx+1 =sin2ωx+cos2ωx+2 = 2 (sin2ωxcos π 4 +cos2ωxsin π 4 )+2 = 2 sin(2ωx+ π 4 )+2 由题设，函数f（x）的最小正周期是 π 2 ，可得 2π 2ω = π 2 ，所以ω=2． （Ⅱ）由（Ⅰ）知， f(x)= 2 sin(4x+ π 4 )+2 ． 当 4x+ π 4 = π 2 +2kπ ，即 x= π 16 + kπ 2 (k∈Z) 时， sin(4x+ π 4 ) 取得最大值1， 所以函数f（x）的最大值是 2+ 2 ，此时x的集合为 {x|x= π 16 + kπ 2 ，k∈Z} ．