Question

如图，四边形ABCD、BEFG均为正方形．（1）如图1，连接AG、CE，判断AG和CE的数量关系和位置关系并证明．（

如图，四边形ABCD、BEFG均为正方形．（1）如图1，连接AG、CE，判断AG和CE的数量关系和位置关系并证明．（2）将正方形BEFG绕点B顺时针旋转β角（0°＜β＜180°），如图2，连接AG、CE相交于点M，连接MB，求出∠EMB的度数．（3）若BE=2，BC=6，连接DG，将正方形BEFG绕点B顺时针旋转β角（0°＜β＜180°），则在这个旋转过程中线段DG长度的取值范围62-2≤DG＜1062-2≤DG＜10（直接填空，不写过程）．

Answer 1

（1）AG=CE，AG⊥CE，证明如下：
∵四边形ABCD、BEFG均为正方形，
∴∠GBA=∠EBC=90°，BG=BE，BA=BC，
在△GBA和△EBC中，

BG＝BE ∠GBA＝∠EBC BA＝BC

，
∴△GBA≌△EBC（SAS），
∴AG=CE，∠GAB=∠BCE，
∴∠BGA+∠BCE=∠BGA+∠GAB=90°，
∴AG⊥CE；
（2）如图，过B作BP⊥EC，BQ⊥MA，垂足分别为P、Q，

可知四边形BPMQ为矩形，
∴∠PBE+∠PBG=∠QBG+∠PBG=90°，
∴∠PBE=∠QBG，
在△BPE和△BQG中，

∠BPE＝∠QBG ∠BPE＝∠BQG BE＝BQ

，
∴△BPE≌△BQG（AAS），
∴BP=BQ，且BQ=PM，
∴BP=PM，
∴△BPM为等腰直角三角形，
∴∠PMB=45°；
（3）当在初始位置时，DG最大，此时GC=6+2=8，CD=6，由勾股定理可求得DG=10，
当G点在线段BD上时，DG最小，此时BG=2，BD=6

2

，所以DG=6

2

-2，而旋转角取不到180°，
所以DG的范围为：6

2

-2≤DG＜10，
故答案为：6

2

-2≤DG＜10．