Question

如图，四边形ABCD、BEFG均为正方形，（1）如图1，连接AG、CE，试判断AG和CE的数量关系和位置关系并证明；

如图，四边形ABCD、BEFG均为正方形，（1）如图1，连接AG、CE，试判断AG和CE的数量关系和位置关系并证明；（2）将正方形BEFG绕点B顺时针旋转β角（0°＜β＜180°），如图2，连接AG、CE相交于点M，连接MB，当角β发生变化时，∠EMB的度数是否发生变化？若不变化，求出∠EMB的度数；若发生变化，请说明理由．（3）在（2）的条件下，过点A作AN⊥MB交MB的延长线于点N，请直接写出线段CM与BN的数量关系：CM=2BNCM=2BN．

Answer 1

（1）AG=EC，AG⊥EC，理由为：
∵正方形BEFG，正方形ABCD，
∴GB=BE，∠ABG=90°，AB=BC，∠ABC=90°，
在△ABG和△BEC中，

BG＝BE ∠ABC＝∠EBC＝90° BA＝BC

，
∴△ABG≌△BEC（SAS），
∴CE=AG，∠BCE=∠BAG，
延长CE交AG于点M，
∴∠BEC=∠AEM，
∴∠ABC=∠AME=90°，
∴AG=EC，AG⊥EC；

（2）∠EMB的度数不发生变化，∠EMB的度数为45°理由为：
过B作BP⊥EC，BH⊥AM，
在△ABG和△CEB中，

AB＝BC ∠ABG＝∠CBE＝90°?∠GBC BG＝EB

，
∴△ABG≌△CEB（SAS），
∴S_△ABG=S_△EBC，AG=EC，
∴

1

2

EC?BP=

1

2

AG?BH，
∴BP=BH，
∴MB为∠EMG的平分线，
∵∠AMC=∠ABC=90°，
∴∠EMB=

1

2

∠EMG=

1

2

×90°=45°；

（3）CM=

2

BN，理由为：在NA上截取NQ=NB，连接BQ，
∴△BNQ为等腰直角三角形，即BQ=

2

BN，
∵∠AMN=45°，∠N=90°，
∴△AMN为等腰直角三角形，即AN=MN，
∴MN-BN=AN-NQ，即AQ=BM，
∵∠MBC+∠ABN=90°，∠BAN+∠ABN=90°，
∴∠MBC=∠BAN，
在△ABQ和△BCM中，

AQ＝BM ∠BAN＝∠MBC AB＝BC

，
∴△ABQ≌△BCM（SAS），
∴CM=BQ，
则CM=

2

BN．
故答案为：CM=

2

BN