Question

如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=6，BC=8，AB=3 ，点M是BC的中点，点P从点M出发沿MB以每

如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=6，BC=8，AB=3 ，点M是BC的中点，点P从点M出发沿MB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，到达点B后立刻以原速度沿BM返回；点Q从点M出发以每秒1个单位长的速度在射线MC上匀速运动，在点P，Q的运动过程中，以PQ为边作等边三角形EPQ，使它与梯形ABCD在射线BC的同侧，点P，Q同时出发，当点P返回到点M时停止运动，点Q也随之停止。设点P，Q运动的时间是t秒（t＞0）。 （1）设PQ的长为y，在点P从点M向点B运动的过程中，写出y与t之间的函数关系式（不必写t的取值范围）；（2）当BP=1时，求△EPQ与梯形ABCD重叠部分的面积；（3）随着时间t的变化，线段AD会有一部分被△EPQ覆盖，被覆盖线段的长度在某个时刻会达到最大值，请回答：该最大值能否持续一个时段？若能，直接写出t的取值范围；若不能，请说明理由。

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Answer 1

解：（1）y=2t； （2）当BP=1时，有两种情形： ①如图6，若点P从点M向点B运动，有MB= BC=4，MP=MQ=3， ∴PQ=6，连接EM， ∵△EPQ是等边三角形， ∴EM⊥PQ， ∴EM=3 ， ∵AB=3 ， ∴点E在AD上， ∴△EPQ与梯形ABCD重叠部分就是△EPQ，其面积为9 ； ②若点P从点B向点M运动，由题意得t=5， PQ=BM+MQ-BP=8，PC=7， 设PE与AD交于点F，QE与AD或AD的延长线交于点G， 过点P作PH⊥AD于点H，则HP=3 ，AH=1， 在Rt△HPF中，∠HPF=30°， ∴HF=3，PF=6， ∴FG=FE=2，又∵FD=2， ∴点G与点D重合， 如图7，此时△EPQ与梯形ABCD的重叠部分就是梯形FPCG， 其面积为 ； （3）能，4≤t≤5。