Question

已知函数f（x）的定义域为D：（-∞，0）∪（0，+∞），且满足对于任意x，y∈D，有f（xy）=f（x）+f（y）

已知函数f（x）的定义域为D：（-∞，0）∪（0，+∞），且满足对于任意x，y∈D，有f（xy）=f（x）+f（y）， （Ⅰ）求f（1），f（-1）的值； （Ⅱ）判断f（x）的奇偶性并说明理由； （Ⅲ）如果f（4）=1，f（3x+1）+f（2x-6）≤3，且f（x）在（0，+∞）上是增函数，求x的取值范围。

Answer 1

解：（Ⅰ）因为f（xy）=f（x）+f（y）， 令x=y=1， 得f（1）=f（1）+f（1），所以f（1）=0； 再令x=y=-1， 得f（1）=f（-1）+f（-1），所以f（-1）=0； （Ⅱ）因为f（xy）=f（x）+f（y）， 令y=-1，得f（-x）=f（x）+f（-1）=f（x）， 又函数f（x）的定义域为D：（-∞，0）∪（0，+∞）， 所以函数f（x）为偶函数。 （Ⅲ）因为f（4）=1， 所以 ， 所以 ， 由 ，① 因为f（x）在D上是偶函数，且在（0，+∞）上是增函数，故在（-∞，0）上是减函数， 当 时， 不等式① ， 解得： ； 当 时，f（-64）=f（64）=3， 所以不等式① ， 在不等式 中， 因为 ， 所以 ， 解得： ； 所以x的取值范围是 。