Question

以下多元函数极限是否存在？为什么？

（1）f(x,y) = [(2+x)ln(1+xy)] / (xy)，(x,y)->(0,0)
（2）f(x,y)= xy / (x+y)，x+y不等于0，(x,y)->(0,0)
0 ，x+y等于0.
问上述多元函数在所给处极限是否存在，存在的求出其值，不存在的说明理由。
（我们寒假作业，还没有学过偏导数，应该不是拿偏导数做，谢谢！）

Answer 1

（1）存在，且极限为2

ln(1+xy)~xy

所以，limf(x，y)=lim(2+x)=2

（2）不存在

比如沿着两种方式趋于（0，0）

①y=x，则f(x，y)=x/2

limf(x，y)=limx/2=0

②y=x^2-x，则f(x，y)=x-1

limf(x，y)=lim(x-1)= -1

两种方式，极限值不同，

所以，原式极限不存在

Answer 2

解：

（1）存在，且极限为2
ln(1+xy)~xy
∴limf(x，y)=lim(2+x)=2

（2）不存在
比如沿着两种方式趋于（0，0）
①y=x，则f(x，y)=x/2
limf(x，y)=limx/2=0
②y=x^2-x，则f(x，y)=x-1
limf(x，y)=lim(x-1)= -1
两种方式，极限值不同
∴原式极限不存在