（2014?江西样卷）如图，半径为1的⊙O的内接△ABC，∠ACB=45°，∠AOC=150°，作CD交AB的延长线于点D，且
（2014?江西样卷）如图，半径为1的⊙O的内接△ABC，∠ACB=45°，∠AOC=150°，作CD交AB的延长线于点D，且CD=BC．（1）求证：CD是⊙O的切线；（...
（2014?江西样卷）如图，半径为1的⊙O的内接△ABC，∠ACB=45°，∠AOC=150°，作CD交AB的延长线于点D，且CD=BC．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）求AC的长．
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（1）证明：连接OB，∵∠ACB与∠AOB都对
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| AB |
∴∠AOB=90°，即△AOB为等腰直角三角形，
∵∠AOC=150°，
∴∠BOC=∠AOC-∠AOB=60°，
∵OB=OC，
∴△OBC为等边三角形，
∴∠BCO=60°，
∴∠ABC=∠ABO+∠CBO=105°，即∠CBD=75°，
∵CB=CD，
∴∠CBD=∠CDB=75°，即∠DCB=30°，
∴∠OCD=∠OCB+∠DCB=90°，即OC⊥CD，
则CD为圆的切线；
（2）解：过O作OM⊥AC于M，
∵OA=OC，
∴M为AC中点，OM平分∠AOC，
即AM=CM，∠AOM=∠COM=75°，
∵sin75°=sin（45°+30°）=
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| 2 |
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| 2 |
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| 2 |
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∴sin∠AOM=
| AM |
| OA |
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