Question

如图，矩形ABCD中，E是BD上的一点，∠BAE=∠BCE，∠AED=∠CED，点G是BC、AE延长线的交点，AG与CD相交于点

如图，矩形ABCD中，E是BD上的一点，∠BAE=∠BCE，∠AED=∠CED，点G是BC、AE延长线的交点，AG与CD相交于点F。求证：四边形ABCD是正方形；当AE=2EF时，判断FG与EF有何数量关系？并证明你的结论。

Answer 1

（1）证明：∵∠CED是△BCE的外角，∠AED是△ABE的外角， ∴∠CED=∠CBE+∠BCE，∠AED=∠BAE+∠ABE。 ∵∠BAE=∠BCE，∠AED=∠CED，∴∠CBE=∠ABE。 ∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=∠BCD=∠BAD=90°，AB=CD。 ∴∠CBE=∠ABE=45°。∴△ABD与△BCD是等腰直角三角形。 ∴AB=AD=BC=CD，∴四边形ABCD是正方形。 （2）解：当AE=2EF时，FG=3EF。证明如下： ∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴△ABE∽△FDE，△ADE∽△GBE。 ∵AE=2EF，∴BE：DE=AE：EF=2。∴BC：AD=BE：DE=2，即BG=2AD。 ∵BC=AD，∴CG=AD。 ∵△ADF∽△GCF，∴FG：AF=CG：AD，即FG=AF=AE+EF=3EF。

矩形的性质，三角形外角的性质，等腰直角三角形的判定和性质，正方形的判定，相似三角形的判定和性质。 【分析】（1）由∠BAE=∠BCE，∠AED=∠CED，利用三角形外角的性质，即可得∠CBE=∠ABE，又由四边形ABCD是矩形，即可证得△ABD与△BCD是等腰直角三角形，继而证得四边形ABCD是正方形。 （2）由题意易证得△ABE∽△FDE，△ADE∽△GBE，△ADF∽△GCF，由AE=2EF，利用相似三角形的对应边成比例，即可求得FG=3EF。