Question

已知函数f（x）=lnx+（x-a） 2 ，a∈R．（1）若a=0，求函数f（x）在[1，e]上的最小值；（2）若函数f（x）

已知函数f（x）=lnx+（x-a） 2 ，a∈R．（1）若a=0，求函数f（x）在[1，e]上的最小值；（2）若函数f（x）在 [ 1 2 ，2] 上存在单调递增区间，试求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）定义域为（0，+∞）， ∵ f′(x)= 1 x +2x＞0 ，…（3分）， ∴f（x）在[1，e]上单调递增，…（5分） ∴当x=1时，f（x） min =f（1）=1…（7分） （2） f′(x)= 1 x +2(x-a)= 2 x 2 -2ax+1 x ，…（9分） 由题可知，在区间 [ 1 2 ，2] 上存在子区间使不等式2x 2 -2ax+1＞0成立使成立 又x＞0，∴ 2a＜2x+ 1 x 在 [ 1 2 ，2] 上有解…（11分） 令 g(x)=2x+ 1 x ，则只需2a小于g（x）在 [ 1 2 ，2] 上的最大值 由 g′(x)=2- 1 x 2 ＞0 知 x＞ 2 2 ， ∴g（x）在 [ 2 2 ，2] 上单调递增，在 [ 1 2 ， 2 2 ] 上单调递减，…（13分） ∴ g(x ) max =max{g(2)，g( 1 2 )} 又 g(2)= 9 2 ，g( 1 2 )=3 ， 故 2a＜ 9 2 ，即 a＜ 9 4 …（15分）