（2014?徐汇区一模）如图，直线y=x+3与x轴、y轴分别交于点A、C，经过A、C两点的抛物线y=ax2+bx+c与x轴的
（2014?徐汇区一模）如图，直线y=x+3与x轴、y轴分别交于点A、C，经过A、C两点的抛物线y=ax2+bx+c与x轴的负半轴上另一交点为B，且tan∠CBO=3．（...
（2014?徐汇区一模）如图，直线y=x+3与x轴、y轴分别交于点A、C，经过A、C两点的抛物线y=ax2+bx+c与x轴的负半轴上另一交点为B，且tan∠CBO=3．（1）求该抛物线的解析式及抛物线的顶点D的坐标；（2）若点P是射线BD上一点，且以点P、A、B为顶点的三角形与△ABC相似，求点P的坐标．
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（1）令y=0，则x+3=0，
解得x=-3，
令x=0，则y=3，
∴点A（-3，0），C（0，3），
∴OA=OC=3，
∵tan∠CBO=
=3，
∴OB=1，
∴点B（-1，0），
把点A、B、C的坐标代入抛物线解析式得，
，
解得
，
∴该抛物线的解析式为y=x2+4x+3，
∵y=x2+4x+3=（x+2）2-1，
∴顶点D（-2，-1）；
（2）∵A（-3，0），B（-1，0），
∴AB=-1-（-3）=2，
∵OA=OC，∠AOC=90°，
∴△AOC是等腰直角三角形，
∴AC=
OA=3
，∠BAC=45°，
∵B（-1，0），D（-2，-1），
∴∠ABD=45°，
①AB和BP是对应边时，△ABC∽△BPA，
∴
=
，
即
=
解得x=-3，
令x=0，则y=3，
∴点A（-3，0），C（0，3），
∴OA=OC=3，
∵tan∠CBO=
| OC |
| OB |
∴OB=1，
∴点B（-1，0），
把点A、B、C的坐标代入抛物线解析式得，
|
解得
|
∴该抛物线的解析式为y=x2+4x+3，
∵y=x2+4x+3=（x+2）2-1，
∴顶点D（-2，-1）；
（2）∵A（-3，0），B（-1，0），
∴AB=-1-（-3）=2，
∵OA=OC，∠AOC=90°，
∴△AOC是等腰直角三角形，
∴AC=
| 2 |
| 2 |
∵B（-1，0），D（-2，-1），
∴∠ABD=45°，
①AB和BP是对应边时，△ABC∽△BPA，
∴
| AB |
| BP |
| AC |
| BA |
即
| 2 |
| BP |
3
|
