Question

如图，光滑轨道ABCD固定在竖直平面内，AB部分倾斜，BC部分水平，CD部分为半径R=0.25m的14圆弧轨道（轨道

如图，光滑轨道ABCD固定在竖直平面内，AB部分倾斜，BC部分水平，CD部分为半径R=0.25m的14圆弧轨道（轨道各部分平滑连接），C为圆弧轨道的最低点，可视为质点的小球P和Q中间压缩一轻质弹簧静止在水平轨道上（弹簧与P和Q不栓接且被锁定），在紧靠圆弧轨道顶端D处，有一水平放置且绕其水平中心轴OO′匀速旋转的圆筒，圆筒直径d=0.15m，筒上开有小孔E（小孔直径略大于小球Q的直径）．现解除对弹簧的锁定，小球P脱离弹簧后恰能沿轨道运动到A处，AB的竖直高度差h=0.45m，小球Q沿轨道由D处恰好从小孔E进入圆筒，并从小孔E处竖直向上穿出圆筒．已知小球P、Q的质量分别为m1=0.5kg，m2=1.0kg，弹簧恢复原长时小球P、Q仍处于水平轨道（不计空气阻力g=10m/s2）．求：（1）小球Q在C点时对轨道压力的大小；（2）弹簧锁定时的弹性势能；（3）圆筒转动的周期T的可能值．

Answer 1

（1）对小球P，由机械能守恒定律得：

1

2

m₁

v

2 1

=m₁gh
取水平向右为正．对小球P、Q，由动量守恒定律得：
0=-m₁v₁+m₂v₂
在C点，由牛顿第二定律得：
F-m₂g=

m2v 2 2

R

联立以上各式代入数值得：F=46N
由牛顿第三定律得：小球Q在C点时对轨道压力的大小46N．
（2）由能量的转化及守恒定律得：
E_p=

1

2

m₁

v

2 1

+

1

2

m₂

v

2 2

代入数值得：E_p=13.5J
（3）小球Q从C点到D点，由动能定理得：
-m₂gR=

1

2

m₂

v

2 D

-

1

2

m₂

v

2 2

小球Q进入圆筒做竖直上抛运动
d=v_Dt-

1

2

gt²
联立以上各式代入数值得：t₁=0.1s，t₂=0.3s（舍去）
由题意知：t₁=

T

2

（2n+1）n=0，1，2，3…
则：T=

1

5(2n+1)

  n=0，1，2，3…．
答：（1）小球Q在C点时对轨道压力的大小是46N；
（2）弹簧锁定时的弹性势能是13.5J；
（3）圆筒转动的周期T=

1

5(2n+1)

，n=0，1，2，3…．