Question

设点F1是x^2/3+y^2/2=1的左焦点，弦AB过椭圆的右焦点，求三角形F1AB的面积的最大值.

Answer 1

a²=3,b²=2
c²=3-2=1
c=1
所以F1F2=2c=2

假设A在x上方，B在下方
直线过(1,0)
设直线是x-1=m(y-0)
x=my+1
代入2x²+3y²=6
(2m²+3)y²+4my-4=0
y1+y2=-4m/(2m²+3),y1y2=-4/(2m²+3)

三角形F1AB=三角形F1F2A+F1F2B
他们底边都是F1F2=2
则面积和最小就是高的和最小
即 |y1|+|y2|
因为AB在x轴两侧,所以一正一负
所以|y1|+|y2|=|y1-y2|
(y1-y2)²=(y1+y2)²-4y1y2=16m²/(2m²+3)²+16/(2m²+3)
|y1-y2|=4√[m²+(2m²+3)]/(2m²+3)
=4√3*√(m²+1)]/(2m²+3)

令√(m²+1)=p
2m²+3=2p²+1
且p>=1
则p/(2p²+1)=1/(2p+1/p)
分母是对勾函数
所以p=√(1/2)=√2/2时最小
这里p>=1,所以p=1,2p+1/p最小=3
此时p/(2p²+1)最大=1/3
所以|y1-y2|最大=4√3*1/3
所以最大值=2*4√3/3÷2=4√3/3

Answer 2

解：椭圆a^2=3 b^2=2 c^2=1 ==》c=1
左焦点F1（-1,0）右焦点F2（1,0）则F1F2=2
在⊿F1AB中，以F1F2为底边分割为两个三角形⊿F1AF2和⊿F1F2B
那么两个三角形的高则为A点纵坐标的绝对值|yA|、B点纵坐标的绝对值|yB|
底边F1F2是一定的，如果想⊿F1AB面积最大，则需要|yA-yB|值为最大
当AB垂直于x轴（即AB为椭圆通径）的时候，|yA-yB|值为最大
根据通径公式，此时AB=2b^2/a=4/根号3
S（⊿F1AB）最大=1/2*AB*F1F2=4/根号3

此答案为正确答案，自己核对答案

Answer 3

请你画个图，那么F1F2=1
看三角形AF1F2与三角形BF1F2
只要比较A,B到x 轴的距离最大即可
那么很明显当AB垂直x时，面积有最大
→S=8√3/3 ，很明显，那个很繁琐的过程不对并且不适合你

Answer 4

焦点F1（-1,0） 另一个焦点（1,0）， A（x1,y1）B(x2,y2)
面积 （2C|y1-y2|）/2 即求|y1-y2|
设AB直线 x=ky+1，带入 x^2/3+y^2/2=1 （3+2k^2）y^2+4ky-4=0
（|y1-y2|）^2=(y1+y2)^2-4y1y2=[4k/（3+2k^2）]^2+16/（3+2k^2）
所以面积为 =[4k/（3+2k^2）]^2+16/（3+2k^2）
可以求最大最小值了。

Answer 5

可以参考：http://zhidao.baidu.com/question/164490797.html?si=1