Question

如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，点P为DD1的中点．（1）求证：直线BD1∥平面PAC；（2）求

如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，点P为DD1的中点．（1）求证：直线BD1∥平面PAC；（2）求直线A1B与平面BDD1B1所成角的正弦值．

Answer 1

证明：（1）设BD交AC于O，连PO，
∵P为DD₁的中点，O为DB的中点
∴PO∥BD₁
又PO?面PAC，BD₁?面PAC
∴BD₁∥平面PAC
解：（2）连A₁C₁交B₁D₁于O₁点，连BO₁，
则A₁C₁⊥B₁D₁，
又A₁C₁⊥BB₁，B₁D₁∩BB₁=B₁，
∴A₁C₁⊥平面BDD₁B₁，
即∠A₁BO₁即为直线A₁B与平面BDD₁B₁所成角
∵A₁O₁=

2

2

，A₁B=

5

∴sin∠∠A₁BO₁=

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（12分）