Question

如图，△ABC内接于⊙O，且AB=AC，BD是⊙O的直径，AD与BC交于点E，F在DA的延长线上，且BF=BE． （1）试判

如图，△ABC内接于⊙O，且AB=AC，BD是⊙O的直径，AD与BC交于点E，F在DA的延长线上，且BF=BE． （1）试判断BF与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若BF=6，∠C=30°，求阴影的面积．

Answer 1

解答：（1）解：BF与⊙O的位置关系是相切，
理由是：∵∠D和∠C都对弧AB，
∴∠C=∠D，
∵BD是直径，
∴∠DAB=90°，
∴∠D+∠ABD=90°，
∴∠C+∠ABD=90°，
∵∠DAB=90°，
∴BA⊥EF，
∵BE=BF，
∴∠EBA=∠FBA，
∵AB=AC，
∴∠C=∠EBA=∠FBA，
∵∠C+∠ABD=90°（已证），
∴∠FBA+∠ABD=90°，
∴∠FBD=90°，
∵OB是半径，
∴BF是⊙O的切线，
即BF与⊙O的位置关系是相切；
（2）解：连接OA，
∵∠C=∠D=30°=∠FBA，
∴在Rt△ABF中，BF=6，AF=

1

2

BF=3，
由勾股定理得AB=3

3

，
在Rt△DBA中，∠D=30°，
∴BD=2AB=6

3

，OB=3

3

，∠BOA=2∠C=60°，
∵在Rt△ABD中，BD=6

3

，AB=3

3

，由勾股定理得：AD=9，
又∵BO=OD，
∴根据等底同高的三角形的面积相等得出S_△BOA=S_△AOD=

1

2

S_△ABD=

1

2

×

1

2

×3

3

×9=

27 3

4

，
∠BOA=2∠C=60°，
∴S_阴影=S_扇形OBA-S_△OAB=

60π×(3 3 )2

360

-

27 3

4

=

9π

2

-

27 3

4

．