Question

设a为实数，记函数f(x)=a√(1-x^2)+√(1+x)+√(1-x)的最大值为g(a)

(1)设t=√(1+x)+√(1-x)，求t的取值范围，并把f(x)表示为t的函数m(t)
(2)求g(a)

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Answer 1

解：1
t=√(1+x)+√(1-x)
t²=1+x+1-x+2√[(1+x)(1-x)]=2+2√[(1+x)(1-x)]
显然t²的范围是（2,4），t的范围就是[√2,2]
所以：√(1-x²)=√[(1+x)(1-x)]=(t²-2)/2（因为此处定义域是符合要求的，所以可以拆分）
f(x)=m(t)=a(t²-2)/2+t （√2≤t≤2）
2：
当a=0时，f(x)=t,而t的最大值为2，这时f(x)的最大值就是g(a)=2
当a＜0时，f(x)的最大值其实就是m(t)的最大值，
m(t)=a/2t²+t-a
这时一个二次函数，当t=-1/a时，m(t)取得最大值-1/(2a)-a。不过，这一值不是可以取的，因为t是有取值范围的，所以要想在这里取得最大值，那么a也要满足t的取值范围，即要：
√2≤-1/a≤2→-1/√2≤a≤-1/2。所以总结起来就是，当
-1/√2≤a≤-1/2时，取的最大值-1/(2a)-a
当a＜-1/√2即-1/a＜√2时，也就是该二次函数的对称轴在t的最小值的左边，从图像上就可以判断，此时m(t)的最大值就是当t取√2的时候，即此时
g(a)=√2
当-1/2＜a＜0即-1/a＞2时，也就是该二次函数的对称轴在t的最大值的右边，
从图像上就可以判断，此时m(t)的最大值就是当t取2的时候，即此时
g(a)=a+2
当a＞0时，二次函数m(t)开口向上，且对称轴小于0，从图像上就可以看出，此时m(t)的最大值就是当t取2时的最大值，即此时
g(a)=a+2
综合前面所有的结论：
当a≤-1/√2时，g(a)=√2；………………………………情况①
当-1/√2≤a≤-1/2时，g(a)=-1/(2a)-a…………………情况②
当a＞-1/2时，g(a)=a+2……………………………………情况③
（情况③中，其实就是将当a=0时也包括进去了，因为当a=0时，符合这一函数）

Answer 2

（1）要使√（1+x）+√（1-x）有意义，则x∈[-1，1]
t^2=1+x+1-x+2√(1-x^2)=2-2√(1-x^2)，所以t^2∈[0，2]，又
t=√（1+x）+√（1-x）>0,得t∈[0，√2]

又由t^2=1+x+1-x+2√(1-x^2)=2-2√(1-x^2)，
可得√(1-x^2)=1-t^2/2
因此f（x）=a（1-t^2/2）+t

（2）对f(x)求导，并令一阶导数等于0
-2ax/2√(1-x^2)+1/2√(1+x)-1/2√(1-x)=0
-2ax+√(1-x)-1/2√(1+x)=0
√(1-x)-√(1+x)=2ax
两边平方，2-2√(1-x^2)=4a^2x^2
1-2a^2x^2=√(1-x^2)
1-4a^2x^2+4a^4x^4=1-x^2
(4a^2-1)x^2=4a^4x^4
x=0,
可以验证，
当a>0，x=0时，f(x)最大值g(a)=a+2,
g(a)=g(1/a)时，a+2=1/a+2, a=1(舍去a=-1)

当a<0时，f(x)的最大值g(a)=√2
对a<0时的任一实数都成立。