Question

设函数f(x)=x|x-a|(a∈R)(1),当x∈[0,1]时,f(x)的最大值为（a^2）/4,求实数a的取值范围

求详细过程。

Answer 1

该题要讨论
若a<=0，则x在[0,1]时，f(x)=x(x-a)，最大值为f(1)=1-a，故不符合题意。
若0<a<=1,则x在[0,a]时,f(x)=-x(x-a)，x在(a,1]时,f(x)=x(x-a)，所以有f(a/2)=(a^2)/4，f(1)=1- a，
因为有0<a<=1，所以(a^2)/4>1-a，故最大值为f(a/2)=(a^2)/4，所以这种情况符合题意。
若a>1，则x在[0,1]时，f(x)=-x(x-a)，当a<=2时，最大值为f(a/2)=(a^2)/4,所以这种情况符合题意。
当a>2时，最大值为f(1)=1-a，故不符合题意。
综上所述，a的范围是（0,2]。