Question

已知函数f（x）= 1-x ax +lnx（Ⅰ）若函数f（x）在[1，+∞）上为增函数，求正实数a的取值范围

已知函数f（x）= 1-x ax +lnx（Ⅰ）若函数f（x）在[1，+∞）上为增函数，求正实数a的取值范围；（Ⅱ）设a＞1，b＞0，求证： 1 a+b ＜ln a+b b ＜ a+b b ．

Answer 1

（Ⅰ） f′(x)= ax-1 a x 2 ，a＞0， 因为函数f（x）在[1，+∞）上为增函数，所以 f′(x)= ax-1 a x 2 ≥0 对x∈[1，+∞）恒成立， 即：ax-1≥0对x∈[1，+∞）恒成立，亦即 a≥ 1 x 对x∈[1，+∞）恒成立， a≥( 1 x ) max =1 ，即a≥1． 故正实数a的取值范围是[1，+∞）． （Ⅱ）证明：一方面，由（1）知， f(x)= 1-x ax +lnx 在[1，+∞）上是增函数， 所以 f( a+b b )＞f(1)=0 ，即 1- a+b b a? a+b b +ln a+b b ＞0 ，即 ln a+b b ＞ 1 a+b ． 另一方面，设函数g（x）=x-lnx（x＞1），g′（x）=1- 1 x = x-1 x ＞0（x＞1）， 所以g（x）在（1，+∞）上是增函数， 又g（1）=1＞0，当x＞1时，g（x）＞g（1）＞0，所以x＞lnx，则ln a+b b ＜ a+b b ． 综上， 1 a+b ＜ln a+b b ＜ a+b b ．