如图,AB是⊙O的直径,动弦CD垂直AB于点E,过点B作直线BF∥CD交AD的延长线于点F,若AB=10cm. (1)求证

如图,AB是⊙O的直径,动弦CD垂直AB于点E,过点B作直线BF∥CD交AD的延长线于点F,若AB=10cm.(1)求证:BF是⊙O的切线.(2)若AD=8cm,求BE的... 如图,AB是⊙O的直径,动弦CD垂直AB于点E,过点B作直线BF∥CD交AD的延长线于点F,若AB=10cm. (1)求证:BF是⊙O的切线.(2)若AD=8cm,求BE的长.(3)若四边形CBFD为平行四边形,则四边形ACBD为何种四边形?并说明理由. 展开
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解:(1)证明:∵CD⊥AB,BF∥CD,∴BF⊥AB。
又∵AB是⊙O的直径,∴BF是⊙O的切线。 
(2)如图1,连接BD。

∵AB是⊙O的直径,
∴∠ADB=90°(直径所对的圆周角是直角)。
又∵DE⊥AB,∴△ADE∽△ABD。
。∴AD 2 =AE?AB。
∵AD=8cm,AB=10cm,∴AE=6.4cm。∴BE=AB﹣AE=3.6cm。
(3)若四边形CBFD为平行四边形,则四边形ACBD是正方形。理由如下:
连接BC。

∵四边形CBFD为平行四边形,
∴BC∥FD,即BC∥AD。
∴∠BCD=∠ADC(两直线平行,内错角相等)。
∵∠BCD=∠BAD,∠CAB=∠CDB,(同弧所对的圆周角相等),
∴∠CAB+∠BAD=∠CDB+∠ADC,即∠CAD=∠BDA,
又∵∠BDA=90°(直径所对的圆周角是直角),∴∠CAD=∠BDA=90°。
∴CD是⊙O的直径,即点E与点O重合(或线段CD过圆心O)。
在△OBC和△ODA中,∵OC=OD,∠COB=∠DOA=90°,OB=OA,
∴△OBC≌△ODA(SAS)。∴BC=DA(全等三角形的对应边相等)。
∴四边形ACBD是平行四边形(对边平行且相等的四边形是平行四边形),
∵∠ACB=90°(直径所对的圆周角是直角),AC=AD,∴四边形ACBD是正方形。

(1)欲证明BF是⊙O的切线,只需证明AB⊥BF即可。
(2)连接BD,在直角三角形ABD中,利用△ADE∽△ABD【学过投影定理的直接应用】可以求得AE的长度,最后结合图形知BE=AB﹣AE。
(3)连接BC,四边形CBFD为平行四边形,则四边形ACBD是正方形。根据平行四边形的对边平行、平行线的性质、圆周角定理以及同弧所对的圆周角相等可以推知∠CAD=∠BDA=90°,即CD是⊙O的直径,然后由全等三角形的判定与性质推知AC=BD,根据正方形的判定定理证得四边形ACBD是正方形。
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