Question

设f（x）是定义在R上的奇函数，g（x）与f（x）的图象关于直线x=1对称，若g（x）=a（x-2）-（x-2） 3 ．（

设f（x）是定义在R上的奇函数，g（x）与f（x）的图象关于直线x=1对称，若g（x）=a（x-2）-（x-2） 3 ．（1）求f（x）的解析式；（2）当x=1时，f（x）取得极值，证明：对任意x 1 ，x 2 ∈（-1，1），不等式|f（x 1 ）-f（x 2 ）|＜4恒成立；（3）若f（x）是[1，+∞）上的单调函数，且当x 0 ≥1，f（x 0 ）≥1时，有f[f（x 0 ）]=x 0 ，求证：f（x 0 ）=x 0 ．

Answer 1

（1）∵f（x）与g（x）的图象关于x=1对称， 设点M（x，f（x））是f（x）上的任意一点．则点M关于x=1的对称点（2-x，g（2-x））在函数g（x）的图象上． ∴f（x）=g（2-x）=-ax+x 3 ．  …（3分） （2）f′（x）=-a+3x 2 ，又x=1是函数f（x）的一个极值点， ∴f′（1）=0?-a+3=0，得a=3，…（4分） 故f（x）=-3x+x 3 ．f′（x）=-3+3x 2 =-3（x+1）（x-1），当x∈[-1，1]，f′（x）≤0， ∴f（x）在[-1，1]上是减函数．  …（5分）f min （x）=f（1）=-2，f max （x）=f（-1）=2，…（7分） 故对任意x 1 ，x 2 ∈（-1，1），有|f（x 1 ）-f（x 2 ）|＜|2-（-2）|=4．  …（8分） （3）若f（x）在[1，+∞）是减函数，则f′（x）=-a+3x 2 ＜0在[1，+∞）上恒成立． 即a≥3x 2 在[1，+∞）上恒成立，此时a不存在；  …（9分） 若f（x）在[1，+∞）是增函数，即a≤3x 2 在[1，+∞）上恒成立．故a≤3．  …（11分） 设f（x 0 ）＞x 0 ≥1则f[f（x 0 ）]＞f（x 0 ），∴x 0 ＞f（x 0 ）矛盾，…（13分） 若x 0 ＞f（x 0 ）≥1则f（x 0 ）＞f[f（x 0 ）]∴f（x 0 ）＞x 0 矛盾！ 故f（x 0 ）=x 0 ．                                           …（15分）